حل {c}{x+2y=1}{-3x+y=-10}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 2 y = 1 } \\ { - 3 x + y = - 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$x+2y=1$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$x=-2y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -2y+1 في المعادلة الأخرى، -3x+y=-10.

$$-3\left(-2y+1\right)+y=-10$$

اضرب -3 في -2y+1.

$$6y-3+y=-10$$

اجمع 6y مع y.

$$7y-3=-10$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$7y=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في x=-2y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2\left(-1\right)+1$$

اضرب -2 في -1.

$$x=2+1$$

اجمع 1 مع 2.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}-\frac{2}{7}\left(-10\right)\\\frac{3}{7}+\frac{1}{7}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$x+2y=1,-3x+y=-10$$

لجعل x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 1.

$$-3x-3\times 2y=-3,-3x+y=-10$$

تبسيط.

$$-3x-6y=-3,-3x+y=-10$$

اطرح -3x+y=-10 من -3x-6y=-3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-3x+3x-6y-y=-3+10$$

اجمع -3x مع 3x. حذف الحدين -3x و3x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-y=-3+10$$

اجمع -6y مع -y.

$$-7y=-3+10$$

اجمع -3 مع 10.

$$-7y=7$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-1$$

عوّض عن y بالقيمة -1 في -3x+y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-1=-10$$

أضف 1 إلى طرفي المعادلة.

$$-3x=-9$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-1$$