حل {c}{5x+y=7}{3x-y=1}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 5 x + y = 7 } \\ { 3 x - y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=7$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+7.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+7}{5} في المعادلة الأخرى، 3x-y=1.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)-y=1$$

اضرب 3 في \frac{-y+7}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}-y=1$$

اجمع -\frac{3y}{5} مع -y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{21}{5}=1$$

اطرح \frac{21}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{16}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=-\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\times 2+\frac{7}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في 2.

$$x=\frac{-2+7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع -\frac{2}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}&-\frac{1}{5\left(-1\right)-3}\\-\frac{3}{5\left(-1\right)-3}&\frac{5}{5\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\times 7+\frac{1}{8}\\\frac{3}{8}\times 7-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=7,3x-y=1$$

لجعل 5x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5x+3y=3\times 7,5\times 3x+5\left(-1\right)y=5$$

تبسيط.

$$15x+3y=21,15x-5y=5$$

اطرح 15x-5y=5 من 15x+3y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15x-15x+3y+5y=21-5$$

اجمع 15x مع -15x. حذف الحدين 15x و-15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y+5y=21-5$$

اجمع 3y مع 5y.

$$8y=21-5$$

اجمع 21 مع -5.

$$8y=16$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 3x-y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2=1$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=2$$