حل {c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$2y+5x=12$$

اطرح 5x من طرفي المعادلة.

$$2y=-5x+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -5x+12.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5x}{2}+6 في المعادلة الأخرى، -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

اضرب -6 في -\frac{5x}{2}+6.

$$15x-36-2x=-24$$

اجمع 15x مع -2x.

$$13x-36=-24$$

أضف 36 إلى طرفي المعادلة.

$$13x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 13.

$$x=\frac{12}{13}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{12}{13} في y=-\frac{5}{2}x+6. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

اضرب -\frac{5}{2} في \frac{12}{13} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

اجمع 6 مع -\frac{30}{13}.

$$y=\frac{48}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

لجعل 2y و-6y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

تبسيط.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

اطرح -12y-4x=-48 من -12y-30x=-72 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

اجمع -12y مع 12y. حذف الحدين -12y و12y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-30x+4x=-72+48$$

اجمع -30x مع 4x.

$$-26x=-72+48$$

اجمع -72 مع 48.

$$-26x=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -26.

$$x=\frac{12}{13}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{12}{13} في -6y-2x=-24. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

اضرب -2 في \frac{12}{13}.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

أضف \frac{24}{13} إلى طرفي المعادلة.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=\frac{48}{13}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$