حل {c}{2x+3y=13}{-6x+y=11}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x + 3 y = 13 } \\ { - 6 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-1$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$2x+3y=13$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$2x=-3y+13$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+13\right)$$

اضرب \frac{1}{2} في -3y+13.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+13}{2} في المعادلة الأخرى، -6x+y=11.

$$-6\left(-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}\right)+y=11$$

اضرب -6 في \frac{-3y+13}{2}.

$$9y-39+y=11$$

اجمع 9y مع y.

$$10y-39=11$$

أضف 39 إلى طرفي المعادلة.

$$10y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{3}{2}y+\frac{13}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{2}\times 5+\frac{13}{2}$$

اضرب -\frac{3}{2} في 5.

$$x=\frac{-15+13}{2}$$

اجمع \frac{13}{2} مع -\frac{15}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\-6&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-3\left(-6\right)}&-\frac{3}{2-3\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2-3\left(-6\right)}&\frac{2}{2-3\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}&-\frac{3}{20}\\\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\11\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\times 13-\frac{3}{20}\times 11\\\frac{3}{10}\times 13+\frac{1}{10}\times 11\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-1,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$2x+3y=13,-6x+y=11$$

لجعل 2x و-6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 2.

$$-6\times 2x-6\times 3y=-6\times 13,2\left(-6\right)x+2y=2\times 11$$

تبسيط.

$$-12x-18y=-78,-12x+2y=22$$

اطرح -12x+2y=22 من -12x-18y=-78 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x-18y-2y=-78-22$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y-2y=-78-22$$

اجمع -18y مع -2y.

$$-20y=-78-22$$

اجمع -78 مع -22.

$$-20y=-100$$

قسمة طرفي المعادلة على -20.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في -6x+y=11. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-6x+5=11$$

اطرح 5 من طرفي المعادلة.

$$-6x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-1,y=5$$