حل {c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)}

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=0$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-9x+3y-2y=2x$$

اجمع 3y مع -2y لتحصل على y.

$$-9x+y=2x$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-9x+y-2x=0$$

اجمع -9x مع -2x لتحصل على -11x.

$$-11x+y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

اجمع -6x مع -2x لتحصل على -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$-8x-3y+6y=0$$

اجمع -3y مع 6y لتحصل على 3y.

$$-8x+3y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$-11x+y=0$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$-11x=-y$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

اضرب -\frac{1}{11} في -y.

$$x=\frac{1}{11}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{y}{11} في المعادلة الأخرى، -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

اضرب -8 في \frac{y}{11}.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

اجمع -\frac{8y}{11} مع 3y.

$$\frac{25}{11}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{11}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{1}{11}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-9x+3y-2y=2x$$

اجمع 3y مع -2y لتحصل على y.

$$-9x+y=2x$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-9x+y-2x=0$$

اجمع -9x مع -2x لتحصل على -11x.

$$-11x+y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

اجمع -6x مع -2x لتحصل على -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$-8x-3y+6y=0$$

اجمع -3y مع 6y لتحصل على 3y.

$$-8x+3y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=0,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 3x-y.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+x.

$$-9x+3y=2y+2x$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$-9x+3y-2y=2x$$

اجمع 3y مع -2y لتحصل على y.

$$-9x+y=2x$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-9x+y-2x=0$$

اجمع -9x مع -2x لتحصل على -11x.

$$-11x+y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب -3 في 2x+y.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في x-3y.

$$-6x-3y=2x-6y$$

اطرح 2x من الطرفين.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

اجمع -6x مع -2x لتحصل على -8x.

$$-8x-3y=-6y$$

إضافة 6y لكلا الجانبين.

$$-8x-3y+6y=0$$

اجمع -3y مع 6y لتحصل على 3y.

$$-8x+3y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

لجعل -11x و-8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في -11.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

تبسيط.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

اطرح 88x-33y=0 من 88x-8y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

اجمع 88x مع -88x. حذف الحدين 88x و-88x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y+33y=0$$

اجمع -8y مع 33y.

$$25y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 25.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في -8x+3y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-8x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -8.

$$x=0$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=0,y=0$$