حل ∫ (x-1)^{3}+(x-1)^{2}-x+x(4-x)(4+x)+(8-x-x^2)^2+x^2(17-x^2)

$$\int ( x - 1 ) ^ { 3 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } - x + x ( 4 - x ) ( 4 + x ) + ( 8 - x - x ^ { 2 } ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } ( 17 - x ^ { 2 } )$$

تقييم

$$\frac{x^{4}}{2}+64x+С$$

خطوات الحل

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} لتوسيع \left(x-1\right)^{3}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+\left(x-1\right)^{2}-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(x-1\right)^{2}.

$$\int x^{3}-3x^{2}+3x-1+x^{2}-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع -3x^{2} مع x^{2} لتحصل على -2x^{2}.

$$\int x^{3}-2x^{2}+3x-1-2x+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع 3x مع -2x لتحصل على x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-1+1-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع -1 مع 1 لتحصل على 0.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+x\left(4-x\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x في 4-x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+\left(4x-x^{2}\right)\left(4+x\right)+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4x-x^{2} في 4+x وجمع الحدود المتشابهة.

$$\int x^{3}-2x^{2}+x-x+16x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع x مع 16x لتحصل على 17x.

$$\int x^{3}-2x^{2}+17x-x-x^{3}+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع x^{3} مع -x^{3} لتحصل على 0.

$$\int -2x^{2}+17x-x+\left(8-x-x^{2}\right)^{2}+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

مربع 8-x-x^{2}.

$$\int -2x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-15x^{2}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع -2x^{2} مع -15x^{2} لتحصل على -17x^{2}.

$$\int -17x^{2}+17x-x+x^{4}+2x^{3}-16x+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

اجمع 17x مع -16x لتحصل على x.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+x^{2}\left(17-x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x^{2} في 17-x^{2}.

$$\int -17x^{2}+x-x+x^{4}+2x^{3}+64+17x^{2}-x^{4}\mathrm{d}x$$

اجمع -17x^{2} مع 17x^{2} لتحصل على 0.

$$\int x-x+x^{4}+2x^{3}+64-x^{4}\mathrm{d}x$$

اجمع x^{4} مع -x^{4} لتحصل على 0.

$$\int x-x+2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

اجمع x مع -x لتحصل على 0.

$$\int 2x^{3}+64\mathrm{d}x$$

تكامل مجموعة القيم مع القيم.

$$\int 2x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

تحليل الثابت في كل القيم.

$$2\int x^{3}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{3}\mathrm{d}x مع \frac{x^{4}}{4}. اضرب 2 في \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{4}}{2}+\int 64\mathrm{d}x$$

ابحث عن تكامل 64 باستخدام جدول قاعده التكاملات الشائعة \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{x^{4}}{2}+64x$$

إذا كانت F\left(x\right) الخاصة ب f\left(x\right) ، سيتم F\left(x\right)+C مجموعه الأنتيديريفاتيفيس الخاصة بالf\left(x\right). لذلك ، أضف ثابت C\in \mathrm{R} تكامل إلى النتيجة.

$$64x+\frac{x^{4}}{2}+С$$

تفاضل w.r.t. x

$$2\left(x^{3}+32\right)$$