حل ∫ (x^8+6)^38x^7 wrt x

$$\int ( x ^ { 8 } + 6 ) ^ { 3 } 8 x ^ { 7 } d x$$

تقييم

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+216x^{8}+С$$

خطوات الحل

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} لتوسيع \left(x^{8}+6\right)^{3}.

$$\int \left(\left(x^{8}\right)^{3}+18\left(x^{8}\right)^{2}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 8 في 3 للحصول على 24.

$$\int \left(x^{24}+18\left(x^{8}\right)^{2}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 8 في 2 للحصول على 16.

$$\int \left(x^{24}+18x^{16}+108x^{8}+216\right)\times 8x^{7}\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب x^{24}+18x^{16}+108x^{8}+216 في 8.

$$\int \left(8x^{24}+144x^{16}+864x^{8}+1728\right)x^{7}\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 8x^{24}+144x^{16}+864x^{8}+1728 في x^{7}.

$$\int 8x^{31}+144x^{23}+864x^{15}+1728x^{7}\mathrm{d}x$$

تكامل مجموعة القيم مع القيم.

$$\int 8x^{31}\mathrm{d}x+\int 144x^{23}\mathrm{d}x+\int 864x^{15}\mathrm{d}x+\int 1728x^{7}\mathrm{d}x$$

تحليل الثابت في كل القيم.

$$8\int x^{31}\mathrm{d}x+144\int x^{23}\mathrm{d}x+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{31}\mathrm{d}x مع \frac{x^{32}}{32}. اضرب 8 في \frac{x^{32}}{32}.

$$\frac{x^{32}}{4}+144\int x^{23}\mathrm{d}x+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{23}\mathrm{d}x مع \frac{x^{24}}{24}. اضرب 144 في \frac{x^{24}}{24}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+864\int x^{15}\mathrm{d}x+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{15}\mathrm{d}x مع \frac{x^{16}}{16}. اضرب 864 في \frac{x^{16}}{16}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+1728\int x^{7}\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{7}\mathrm{d}x مع \frac{x^{8}}{8}. اضرب 1728 في \frac{x^{8}}{8}.

$$\frac{x^{32}}{4}+6x^{24}+54x^{16}+216x^{8}$$

إذا كانت F\left(x\right) الخاصة ب f\left(x\right) ، سيتم F\left(x\right)+C مجموعه الأنتيديريفاتيفيس الخاصة بالf\left(x\right). لذلك ، أضف ثابت C\in \mathrm{R} تكامل إلى النتيجة.

$$216x^{8}+54x^{16}+6x^{24}+\frac{x^{32}}{4}+С$$

تفاضل w.r.t. x

$$8x^{7}\left(x^{8}+6\right)^{3}$$