حل ∫ (5x^3+4)^2(15x^2+4) wrt x

$$\int ( 5 x ^ { 3 } + 4 ) ^ { 2 } ( 15 x ^ { 2 } + 4 ) d x$$

تقييم

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+64x+С$$

خطوات الحل

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(5x^{3}+4\right)^{2}.

$$\int \left(25\left(x^{3}\right)^{2}+40x^{3}+16\right)\left(15x^{2}+4\right)\mathrm{d}x$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 3 في 2 للحصول على 6.

$$\int \left(25x^{6}+40x^{3}+16\right)\left(15x^{2}+4\right)\mathrm{d}x$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 25x^{6}+40x^{3}+16 في 15x^{2}+4.

$$\int 375x^{8}+100x^{6}+600x^{5}+160x^{3}+240x^{2}+64\mathrm{d}x$$

تكامل مجموعة القيم مع القيم.

$$\int 375x^{8}\mathrm{d}x+\int 100x^{6}\mathrm{d}x+\int 600x^{5}\mathrm{d}x+\int 160x^{3}\mathrm{d}x+\int 240x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

تحليل الثابت في كل القيم.

$$375\int x^{8}\mathrm{d}x+100\int x^{6}\mathrm{d}x+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{8}\mathrm{d}x مع \frac{x^{9}}{9}. اضرب 375 في \frac{x^{9}}{9}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+100\int x^{6}\mathrm{d}x+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{6}\mathrm{d}x مع \frac{x^{7}}{7}. اضرب 100 في \frac{x^{7}}{7}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+600\int x^{5}\mathrm{d}x+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{5}\mathrm{d}x مع \frac{x^{6}}{6}. اضرب 600 في \frac{x^{6}}{6}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+160\int x^{3}\mathrm{d}x+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{3}\mathrm{d}x مع \frac{x^{4}}{4}. اضرب 160 في \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+240\int x^{2}\mathrm{d}x+\int 64\mathrm{d}x$$

بما ان \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1 ، استبدل \int x^{2}\mathrm{d}x مع \frac{x^{3}}{3}. اضرب 240 في \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+\int 64\mathrm{d}x$$

ابحث عن تكامل 64 باستخدام جدول قاعده التكاملات الشائعة \int a\mathrm{d}x=ax.

$$\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+100x^{6}+40x^{4}+80x^{3}+64x$$

تبسيط.

$$80x^{3}+64x+100x^{6}+40x^{4}+\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}$$

إذا كانت F\left(x\right) الخاصة ب f\left(x\right) ، سيتم F\left(x\right)+C مجموعه الأنتيديريفاتيفيس الخاصة بالf\left(x\right). لذلك ، أضف ثابت C\in \mathrm{R} تكامل إلى النتيجة.

$$80x^{3}+64x+100x^{6}+40x^{4}+\frac{125x^{9}}{3}+\frac{100x^{7}}{7}+С$$

تفاضل w.r.t. x

$$\left(15x^{2}+4\right)\left(5x^{3}+4\right)^{2}$$