حل d/dyleft(cos(y)right)

$$\frac{d}{d y } \left( \cos ( y ) \right)$$

تقييم

$$-\sin(y)$$

خطوات استخدام تعريف الاشتقاق

بالنسبة للدالة f\left(x\right)، المشتقة هي نهاية \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} حيث تذهب h إلى 0، في حالة وجود هذه النهاية.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\cos(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y+h)-\cos(y)}{h}\right)$$

استخدم صيغة الجمع لجيب تمام الزاوية.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y+h)-\cos(y)}{h}$$

تحليل \cos(y).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(y)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(y)\sin(h)}{h}$$

إعادة كتابة النهاية.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

استخدم حقيقة كون y ثابتاً عند حساب النهايات حيث تذهب h إلى 0.

$$\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

النهاية \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} هي 1.

$$\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y)$$

لتقدير قيمة النهاية \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}، أولاً اضرب البسط والمقام في \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

اضرب \cos(h)+1 في \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

استخدم متطابقة فيثاغورث.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

إعادة كتابة النهاية.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

النهاية \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} هي 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

استخدم حقيقة كون \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} متصل عند 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

عوّض القيمة 0 في التعبير \cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(y).

$$-\sin(y)$$

تفاضل w.r.t. y

$$-\cos(y)$$