حل frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}+frac{2-sqrt{5}}{2+sqrt{5}}=a+sqrt{5b}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 5 } }{ 2- \sqrt{ 5 } } + \frac{ 2- \sqrt{ 5 } }{ 2+ \sqrt{ 5 } } = a+ \sqrt{ 5b }$$

حل مسائل b

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

$$a\leq -18$$

خطوات حل المعادلات الجذرية

احذف جذور مقام ال\frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} بضرب البسط والمقام ب2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

ضع في الحسبان \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

مربع 2. مربع \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

اطرح 5 من 4 لتحصل على -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

اضرب 2+\sqrt{5} في 2+\sqrt{5} لتحصل على \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

اجمع 4 مع 5 لتحصل على 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

أي شيء مقسوم على -1 يُعطي العكس. لمعرفة مقابل 9+4\sqrt{5}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}}=a+\sqrt{5b}$$

احذف جذور مقام ال\frac{2-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} بضرب البسط والمقام ب2-\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}=a+\sqrt{5b}$$

ضع في الحسبان \left(2+\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}=a+\sqrt{5b}$$

مربع 2. مربع \sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{4-5}=a+\sqrt{5b}$$

اطرح 5 من 4 لتحصل على -1.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2-\sqrt{5}\right)}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

اضرب 2-\sqrt{5} في 2-\sqrt{5} لتحصل على \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{4-4\sqrt{5}+5}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

اجمع 4 مع 5 لتحصل على 9.

$$-9-4\sqrt{5}+\frac{9-4\sqrt{5}}{-1}=a+\sqrt{5b}$$

أي شيء مقسوم على -1 يُعطي العكس. لمعرفة مقابل 9-4\sqrt{5}، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$-9-4\sqrt{5}-9+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

اطرح 9 من -9 لتحصل على -18.

$$-18-4\sqrt{5}+4\sqrt{5}=a+\sqrt{5b}$$

اجمع -4\sqrt{5} مع 4\sqrt{5} لتحصل على 0.

$$-18=a+\sqrt{5b}$$

قم بتبديل الطرفين بحيث تكون كل الحدود المتغيرة على اليسار.

$$a+\sqrt{5b}=-18$$

اطرح a من الطرفين.

$$\sqrt{5b}=-18-a$$

تربيع طرفي المعادلة.

$$5b=\left(a+18\right)^{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$\frac{5b}{5}=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

القسمة على 5 تؤدي إلى التراجع عن الضرب في 5.

$$b=\frac{\left(a+18\right)^{2}}{5}$$

حل مسائل a

$$a=-\left(\sqrt{5b}+18\right)$$

$$b\geq 0$$