حل x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

حل مسائل x، y

$$x=15$$

$$y=12$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,4.

$$4x=5y$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{4} في المعادلة الأخرى، -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

اجمع -\frac{5y}{4} مع y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

ضرب طرفي المعادلة في -4.

$$y=12$$

عوّض عن y بالقيمة 12 في x=\frac{5}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

اضرب \frac{5}{4} في 12.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=12$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,4.

$$4x=5y$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$4x-5y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=x-3$$

اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-3$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=15,y=12$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 20، أقل مضاعف مشترك لـ 5,4.

$$4x=5y$$

اطرح 5y من الطرفين.

$$4x-5y=0$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اضرب طرفي المعادلة في 3.

$$y=x-3$$

اطرح x من الطرفين.

$$y-x=-3$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

لجعل 4x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

اطرح -4x+4y=-12 من -4x+5y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5y-4y=12$$

اجمع 5y مع -4y.

$$y=12$$

عوّض عن y بالقيمة 12 في -x+y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+12=-3$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-x=-15$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=15$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=15,y=12$$