حل x/3+y/4=4;x/2-y/4=1

$$\frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = 4 ; \frac { x } { 2 } - \frac { y } { 4 } = 1$$

حل مسائل x، y

$$x=6$$

$$y=8$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x+3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 2,4.

$$2x-y=4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=48$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+48$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+48\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+48.

$$x=-\frac{3}{4}y+12$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+12 في المعادلة الأخرى، 2x-y=4.

$$2\left(-\frac{3}{4}y+12\right)-y=4$$

اضرب 2 في -\frac{3y}{4}+12.

$$-\frac{3}{2}y+24-y=4$$

اجمع -\frac{3y}{2} مع -y.

$$-\frac{5}{2}y+24=4$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{2}y=-20$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في x=-\frac{3}{4}y+12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 8+12$$

اضرب -\frac{3}{4} في 8.

$$x=-6+12$$

اجمع 12 مع -6.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=8$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x+3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 2,4.

$$2x-y=4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-3\times 2}&-\frac{3}{4\left(-1\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-1\right)-3\times 2}&\frac{4}{4\left(-1\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}48\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 48+\frac{3}{10}\times 4\\\frac{1}{5}\times 48-\frac{2}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\8\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=6,y=8$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. ضرب طرفي المعادلة في 12، أقل مضاعف مشترك لـ 3,4.

$$4x+3y=48$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. ضرب طرفي المعادلة في 4، أقل مضاعف مشترك لـ 2,4.

$$2x-y=4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=48,2x-y=4$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2\times 3y=2\times 48,4\times 2x+4\left(-1\right)y=4\times 4$$

تبسيط.

$$8x+6y=96,8x-4y=16$$

اطرح 8x-4y=16 من 8x+6y=96 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+6y+4y=96-16$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+4y=96-16$$

اجمع 6y مع 4y.

$$10y=96-16$$

اجمع 96 مع -16.

$$10y=80$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$y=8$$

عوّض عن y بالقيمة 8 في 2x-y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-8=4$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$2x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=6$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=6,y=8$$