حل frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

حل مسائل k

$$k=-1$$

$$k=1$$

خطوات استخدام الصيغة التربيعية

ضرب طرفي المعادلة في 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}، أقل مضاعف مشترك لـ \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 2 للحصول على 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 6 في k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} لتوسيع \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 2 للحصول على 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

لمعرفة مقابل 9k^{4}-6k^{2}+1، ابحث عن مقابل كل مصطلح.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

اجمع 6k^{4} مع -9k^{4} لتحصل على -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

اجمع 12k^{2} مع 6k^{2} لتحصل على 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

اطرح 1 من 6 لتحصل على 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 4 في -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

استخدم نظرية ثنائية الحد \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} لتوسيع \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

لرفع أس عدد ما إلى أس آخر، اضرب قيم الأسس. اضرب 2 في 2 للحصول على 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

اطرح 45k^{4} من الطرفين.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

اجمع -12k^{4} مع -45k^{4} لتحصل على -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

اطرح 30k^{2} من الطرفين.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

اجمع 72k^{2} مع -30k^{2} لتحصل على 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

اطرح 5 من الطرفين.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

اطرح 5 من 20 لتحصل على 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

استبدل t بـk^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

يمكن حل كل معادلات النموذج ax^{2}+bx+c=0 باستخدام الصيغة التربيعية: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. استبدل -57 بـ a، و42 بـ b و15 بـ c في الصيغة التربيعية.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

قم بإجراء العمليات الحسابية.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

حل المعادلة t=\frac{-42±72}{-114} عندما تكون العلامة ± علامة جمع و± علامة طرح.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

بما ان k=t^{2} ، يتم الحصول علي الحلول عن طريق تقييم k=±\sqrt{t} لt الايجابيه.

$$k=1 k=-1$$

حل مسائل k (complex solution)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0.512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0.512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$