حل frac{(sqrt{5}-sqrt{2})(3sqrt{5}+sqrt{2})}{3sqrt{5}+2sqrt{2}}

$$\frac { ( \sqrt { 5 } - \sqrt { 2 } ) ( 3 \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } ) } { 3 \sqrt { 5 } + 2 \sqrt { 2 } }$$

تقييم

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}\approx 0.699979336$$

خطوات الحل

احذف جذور مقام ال\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)}{3\sqrt{5}+2\sqrt{2}} بضرب البسط والمقام ب3\sqrt{5}-2\sqrt{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}$$

ضع في الحسبان \left(3\sqrt{5}+2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right). يمكن تحويل عملية الضرب إلى فرق بين المربعات باستخدام القاعدة: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

توسيع \left(3\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{3^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

احسب 3 بالأس 2 لتحصل على 9.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{9\times 5-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

اضرب 9 في 5 لتحصل على 45.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

توسيع \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

احسب 2 بالأس 2 لتحصل على 4.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

إيجاد مربع \sqrt{2} هو 2.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-4\times 2}$$

اضرب 4 في 2 لتحصل على 8.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{45-8}$$

اطرح 8 من 45 لتحصل على 37.

$$\frac{\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

تطبيق خاصية التوزيع بضرب كل عنصر من \sqrt{5}-\sqrt{2} في كل عنصر من 3\sqrt{5}+\sqrt{2}.

$$\frac{\left(3\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

إيجاد مربع \sqrt{5} هو 5.

$$\frac{\left(3\times 5+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

اضرب 3 في 5 لتحصل على 15.

$$\frac{\left(15+\sqrt{5}\sqrt{2}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

لضرب \sqrt{5} و\sqrt{2} ، اضرب الأرقام ضمن الجذر التربيعي.

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{2}\sqrt{5}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

لضرب \sqrt{2} و\sqrt{5} ، اضرب الأرقام ضمن الجذر التربيعي.

$$\frac{\left(15+\sqrt{10}-3\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

اجمع \sqrt{10} مع -3\sqrt{10} لتحصل على -2\sqrt{10}.

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

إيجاد مربع \sqrt{2} هو 2.

$$\frac{\left(15-2\sqrt{10}-2\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

اطرح 2 من 15 لتحصل على 13.

$$\frac{\left(13-2\sqrt{10}\right)\left(3\sqrt{5}-2\sqrt{2}\right)}{37}$$

تطبيق خاصية التوزيع بضرب كل عنصر من 13-2\sqrt{10} في كل عنصر من 3\sqrt{5}-2\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{10}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

تحليل عوامل 10=5\times 2. أعاده كتابه الجذر التربيعي للمنتج \sqrt{5\times 2} كحاصل ضرب الجذور المربعة \sqrt{5}\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\sqrt{5}\sqrt{2}\sqrt{5}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

اضرب \sqrt{5} في \sqrt{5} لتحصل على 5.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-6\times 5\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

اضرب -6 في 5 لتحصل على -30.

$$\frac{39\sqrt{5}-26\sqrt{2}-30\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

اجمع -26\sqrt{2} مع -30\sqrt{2} لتحصل على -56\sqrt{2}.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{10}}{37}$$

تحليل عوامل 10=2\times 5. أعاده كتابه الجذر التربيعي للمنتج \sqrt{2\times 5} كحاصل ضرب الجذور المربعة \sqrt{2}\sqrt{5}.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\sqrt{2}\sqrt{2}\sqrt{5}}{37}$$

اضرب \sqrt{2} في \sqrt{2} لتحصل على 2.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+4\times 2\sqrt{5}}{37}$$

اضرب 4 في 2 لتحصل على 8.

$$\frac{39\sqrt{5}-56\sqrt{2}+8\sqrt{5}}{37}$$

اجمع 39\sqrt{5} مع 8\sqrt{5} لتحصل على 47\sqrt{5}.

$$\frac{47\sqrt{5}-56\sqrt{2}}{37}$$