求解 z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

求解 z 的值

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

运用二次公式的步骤

将 t 替换为 z^{3}。

$$t^{2}-t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -1 替换 b、用 1 替换 c。

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

完成计算。

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} 的解。

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

由于 z=t^{3}，可通过为每个 t 求解方程来获得解决方案。

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$