求解 z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

求解 z 的值

$$z=3i$$

$$z=-i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$z^{2}-2iz+3=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-2i 替换 b，并用 3 替换 c。

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

对 -2i 进行平方运算。

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

求 -4 与 3 的乘积。

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

将 -12 加上 -4。

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

取 -16 的平方根。

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{2i±4i}{2} 的解。 将 4i 加上 2i。

$$z=\frac{6i}{2}$$

6i 除以 2。

$$z=3i$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{2i±4i}{2} 的解。 将 2i 减去 4i。

$$z=\frac{-2i}{2}$$

-2i 除以 2。

$$z=-i$$

现已求得方程式的解。

$$z=3i z=-i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$z^{2}-2iz+3=0$$

将等式的两边同时减去 3。

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

3 减去它自己得 0。

$$z^{2}-2iz=-3$$

将 x 项的系数 -2i 除以 2 得 -i。然后在等式两边同时加上 -i 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

对 -i 进行平方运算。

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

将 -1 加上 -3。

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

因数 z^{2}-2iz-1。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

化简。

$$z-i=2i z-i=-2i$$

在等式两边同时加 i。

$$z=3i z=-i$$