求解 z^2+6z+4=0

$$z ^ { 2 } + 6 z + 4 = 0$$

求解 z 的值

$$z=\sqrt{5}-3\approx -0.763932023$$

$$z=-\sqrt{5}-3\approx -5.236067977$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$z^{2}+6z+4=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，6 替换 b，并用 4 替换 c。

$$z=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4}}{2}$$

对 6 进行平方运算。

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4}}{2}$$

求 -4 与 4 的乘积。

$$z=\frac{-6±\sqrt{36-16}}{2}$$

将 -16 加上 36。

$$z=\frac{-6±\sqrt{20}}{2}$$

取 20 的平方根。

$$z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} 的解。 将 2\sqrt{5} 加上 -6。

$$z=\frac{2\sqrt{5}-6}{2}$$

-6+2\sqrt{5} 除以 2。

$$z=\sqrt{5}-3$$

现在 ± 为减号时求公式 z=\frac{-6±2\sqrt{5}}{2} 的解。 将 -6 减去 2\sqrt{5}。

$$z=\frac{-2\sqrt{5}-6}{2}$$

-6-2\sqrt{5} 除以 2。

$$z=-\sqrt{5}-3$$

现已求得方程式的解。

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$z^{2}+6z+4=0$$

将等式的两边同时减去 4。

$$z^{2}+6z+4-4=-4$$

4 减去它自己得 0。

$$z^{2}+6z=-4$$

将 x 项的系数 6 除以 2 得 3。然后在等式两边同时加上 3 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$z^{2}+6z+3^{2}=-4+3^{2}$$

对 3 进行平方运算。

$$z^{2}+6z+9=-4+9$$

将 9 加上 -4。

$$z^{2}+6z+9=5$$

因数 z^{2}+6z+9。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(z+3\right)^{2}=5$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(z+3\right)^{2}}=\sqrt{5}$$

化简。

$$z+3=\sqrt{5} z+3=-\sqrt{5}$$

将等式的两边同时减去 3。

$$z=\sqrt{5}-3 z=-\sqrt{5}-3$$