求解 z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

求解 x 的值

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

求解线性方程的步骤

将方程式的两边同时乘以 y^{2}+1。

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

使用分配律将 z 乘以 y^{2}+1。

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

使用分配律将 xy 乘以 y^{2}+1。

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

移项以使所有变量项位于左边。

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

将方程式两边同时减去 e^{y}。

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

合并所有含 x 的项。

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

两边同时除以 y^{3}+y。

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

除以 y^{3}+y 是乘以 y^{3}+y 的逆运算。

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

zy^{2}+z-e^{y} 除以 y^{3}+y。

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$