求解 y^2-y+7=0

$$y ^ { 2 } - y + 7 = 0$$

求解 y 的值

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}\approx 0.5+2.598076211i$$

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0.5-2.598076211i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$y^{2}-y+7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-1 替换 b，并用 7 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7}}{2}$$

求 -4 与 7 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28}}{2}$$

将 -28 加上 1。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27}}{2}$$

取 -27 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{3}i}{2}$$

-1 的相反数是 1。

$$y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 3i\sqrt{3} 加上 1。

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} 的解。 将 1 减去 3i\sqrt{3}。

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$y^{2}-y+7=0$$

将等式的两边同时减去 7。

$$y^{2}-y+7-7=-7$$

7 减去它自己得 0。

$$y^{2}-y=-7$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-7+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 -7。

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-\frac{27}{4}$$

因数 y^{2}-y+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

化简。

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$