求解 y^2+5y=625

$$y ^ { 2 } + 5 y = 625$$

求解 y 的值

$$y = \frac{5 \sqrt{101} - 5}{2} \approx 22.624689053$$

$$y=\frac{-5\sqrt{101}-5}{2}\approx -27.624689053$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$y^{2}+5y=625$$

将等式的两边同时减去 625。

$$y^{2}+5y-625=625-625$$

625 减去它自己得 0。

$$y^{2}+5y-625=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，5 替换 b，并用 -625 替换 c。

$$y=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-625\right)}}{2}$$

对 5 进行平方运算。

$$y=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-625\right)}}{2}$$

求 -4 与 -625 的乘积。

$$y=\frac{-5±\sqrt{25+2500}}{2}$$

将 2500 加上 25。

$$y=\frac{-5±\sqrt{2525}}{2}$$

取 2525 的平方根。

$$y=\frac{-5±5\sqrt{101}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{-5±5\sqrt{101}}{2} 的解。 将 5\sqrt{101} 加上 -5。

$$y=\frac{5\sqrt{101}-5}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{-5±5\sqrt{101}}{2} 的解。 将 -5 减去 5\sqrt{101}。

$$y=\frac{-5\sqrt{101}-5}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{5\sqrt{101}-5}{2} y=\frac{-5\sqrt{101}-5}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$y^{2}+5y=625$$

将 x 项的系数 5 除以 2 得 \frac{5}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{5}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}+5y+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=625+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{5}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=625+\frac{25}{4}$$

将 \frac{25}{4} 加上 625。

$$y^{2}+5y+\frac{25}{4}=\frac{2525}{4}$$

因数 y^{2}+5y+\frac{25}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2525}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2525}{4}}$$

化简。

$$y+\frac{5}{2}=\frac{5\sqrt{101}}{2} y+\frac{5}{2}=-\frac{5\sqrt{101}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{5}{2}。

$$y=\frac{5\sqrt{101}-5}{2} y=\frac{-5\sqrt{101}-5}{2}$$