求解 x^4-4x^3-25x^2+16x+84=0

$$x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } - 25 x ^ { 2 } + 16 x + 84 = 0$$

求解 x 的值

$$x=2$$

$$x=7$$

$$x=-2$$

$$x=-3$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 84，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±84,±42,±28,±21,±14,±12,±7,±6,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}-4x^{3}-25x^{2}+16x+84 除以 x-2 得 x^{3}-2x^{2}-29x-42。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}-2x^{2}-29x-42=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -42，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±42,±21,±14,±7,±6,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}-2x^{2}-29x-42 除以 x+2 得 x^{2}-4x-21。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}-4x-21=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -4 替换 b、用 -21 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 1\left(-21\right)}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{4±10}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}-4x-21=0 的解。

$$x=-3 x=7$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=2 x=-2 x=-3 x=7$$