求解 x^4-27x^2+14x+120=0

$$x ^ { 4 } - 27 x ^ { 2 } + 14 x + 120 = 0$$

求解 x 的值

$$x=3$$

$$x=4$$

$$x=-2$$

$$x=-5$$

求解步骤

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 120，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±120,±60,±40,±30,±24,±20,±15,±12,±10,±8,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}-27x^{2}+14x+120 除以 x+2 得 x^{3}-2x^{2}-23x+60。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}-2x^{2}-23x+60=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 60，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±60,±30,±20,±15,±12,±10,±6,±5,±4,±3,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}-2x^{2}-23x+60 除以 x-3 得 x^{2}+x-20。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}+x-20=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 1 替换 b、用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 1\left(-20\right)}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-1±9}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}+x-20=0 的解。

$$x=-5 x=4$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-2 x=3 x=-5 x=4$$