求解 x^4=(2x-3)^2

$$x ^ { 4 } = ( 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-3$$

$$x=1$$

$$x=-\sqrt{2}i+1\approx 1-1.414213562i$$

$$x=1+\sqrt{2}i\approx 1+1.414213562i$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-3\right)^{2}。

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

将方程式两边同时减去 4x^{2}。

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

将 12x 添加到两侧。

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

将方程式两边同时减去 9。

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -9，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±9,±3,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}-4x^{2}+12x-9 除以 x-1 得 x^{3}+x^{2}-3x+9。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 9，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±9,±3,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}+x^{2}-3x+9 除以 x+3 得 x^{2}-2x+3。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}-2x+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -2 替换 b、用 3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}-2x+3=0 的解。

$$x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-3 x=-\sqrt{2}i+1 x=1+\sqrt{2}i$$

求解 x 的值

$$x=-3$$

$$x=1$$

求解步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2x-3\right)^{2}。

$$x^{4}=4x^{2}-12x+9$$

将方程式两边同时减去 4x^{2}。

$$x^{4}-4x^{2}=-12x+9$$

将 12x 添加到两侧。

$$x^{4}-4x^{2}+12x=9$$

将方程式两边同时减去 9。

$$x^{4}-4x^{2}+12x-9=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -9，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±9,±3,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}-4x^{2}+12x-9 除以 x-1 得 x^{3}+x^{2}-3x+9。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}+x^{2}-3x+9=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 9，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±9,±3,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-3$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}+x^{2}-3x+9 除以 x+3 得 x^{2}-2x+3。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}-2x+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -2 替换 b、用 3 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{2±\sqrt{-8}}{2}$$

由于实数域中未定义负数的平方根，因此无解。

$$x\in \emptyset$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=1 x=-3$$