求解 x^2-23x+112=0

$$x ^ { 2 } - 23 x + 112 = 0$$

求解 x 的值

$$x=7$$

$$x=16$$

因式分解的步骤

若要解公式，请使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) x^{2}-23x+112 因子。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-23 ab=112$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 112 的所有此类整数对。

$$-1,-112 -2,-56 -4,-28 -7,-16 -8,-14$$

计算每对之和。

$$-1-112=-113 -2-56=-58 -4-28=-32 -7-16=-23 -8-14=-22$$

该解答是总和为 -23 的对。

$$a=-16 b=-7$$

使用获取的值 \left(x+a\right)\left(x+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(x-16\right)\left(x-7\right)$$

若要找到方程解，请解 x-16=0 和 x-7=0.

$$x=16 x=7$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx+112。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-23 ab=1\times 112=112$$

由于 ab 是正数，a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值，所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 112 的所有此类整数对。

$$-1,-112 -2,-56 -4,-28 -7,-16 -8,-14$$

计算每对之和。

$$-1-112=-113 -2-56=-58 -4-28=-32 -7-16=-23 -8-14=-22$$

该解答是总和为 -23 的对。

$$a=-16 b=-7$$

将 x^{2}-23x+112 改写为 \left(x^{2}-16x\right)+\left(-7x+112\right)。

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(-7x+112\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 -7 中。

$$x\left(x-16\right)-7\left(x-16\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-16。

$$\left(x-16\right)\left(x-7\right)$$

若要找到方程解，请解 x-16=0 和 x-7=0.

$$x=16 x=7$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-23x+112=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-23 替换 b，并用 112 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 112}}{2}$$

对 -23 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 112}}{2}$$

求 -4 与 112 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-448}}{2}$$

将 -448 加上 529。

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{81}}{2}$$

取 81 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-23\right)±9}{2}$$

-23 的相反数是 23。

$$x=\frac{23±9}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{23±9}{2} 的解。 将 9 加上 23。

$$x=\frac{32}{2}$$

32 除以 2。

$$x=16$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{23±9}{2} 的解。 将 23 减去 9。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 除以 2。

$$x=7$$

现已求得方程式的解。

$$x=16 x=7$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-23x+112=0$$

将等式的两边同时减去 112。

$$x^{2}-23x+112-112=-112$$

112 减去它自己得 0。

$$x^{2}-23x=-112$$

将 x 项的系数 -23 除以 2 得 -\frac{23}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{23}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-112+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{23}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-112+\frac{529}{4}$$

将 \frac{529}{4} 加上 -112。

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{81}{4}$$

因数 x^{2}-23x+\frac{529}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{23}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{9}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{23}{2}。

$$x=16 x=7$$