求解 x^2-21x-75=0

$$x ^ { 2 } - 21 x - 75 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{741} + 21}{2} \approx 24.110657589$$

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}\approx -3.110657589$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-21x-75=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-21 替换 b，并用 -75 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

对 -21 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-75\right)}}{2}$$

求 -4 与 -75 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+300}}{2}$$

将 300 加上 441。

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{741}}{2}$$

-21 的相反数是 21。

$$x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} 的解。 将 \sqrt{741} 加上 21。

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} 的解。 将 21 减去 \sqrt{741}。

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-21x-75=0$$

在等式两边同时加 75。

$$x^{2}-21x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

-75 减去它自己得 0。

$$x^{2}-21x=-\left(-75\right)$$

将 0 减去 -75。

$$x^{2}-21x=75$$

将 x 项的系数 -21 除以 2 得 -\frac{21}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{21}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=75+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{21}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=75+\frac{441}{4}$$

将 \frac{441}{4} 加上 75。

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{741}{4}$$

因数 x^{2}-21x+\frac{441}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{741}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{741}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{21}{2}=\frac{\sqrt{741}}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{\sqrt{741}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{21}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$