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求解 x 的值
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x^{2}-21x-75=0
形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解,方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解,一个是当 ± 取加号时的解,另一个是取减号时的解。
x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-75\right)}}{2}
此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a,-21 替换 b,并用 -75 替换 c。
x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-75\right)}}{2}
对 -21 进行平方运算。
x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+300}}{2}
求 -4 与 -75 的乘积。
x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{741}}{2}
将 300 加上 441。
x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}
-21 的相反数是 21。
x=\frac{\sqrt{741}+21}{2}
现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} 的解。 将 \sqrt{741} 加上 21。
x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}
现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} 的解。 将 21 减去 \sqrt{741}。
x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}
现已求得方程式的解。
x^{2}-21x-75=0
这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式,等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。
x^{2}-21x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)
在等式两边同时加 75。
x^{2}-21x=-\left(-75\right)
-75 减去它自己得 0。
x^{2}-21x=75
将 0 减去 -75。
x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=75+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}
将 x 项的系数 -21 除以 2 得 -\frac{21}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{21}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。
x^{2}-21x+\frac{441}{4}=75+\frac{441}{4}
对 -\frac{21}{2} 进行平方运算,方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。
x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{741}{4}
将 \frac{441}{4} 加上 75。
\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{741}{4}
因数 x^{2}-21x+\frac{441}{4}。一般说来,当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时,它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。
\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{741}{4}}
对方程两边同时取平方根。
x-\frac{21}{2}=\frac{\sqrt{741}}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{\sqrt{741}}{2}
化简。
x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}
在等式两边同时加 \frac{21}{2}。