求解 x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

求解 x 的值

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

运用二次公式的步骤

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$x^{2}-2x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -2 替换 b、用 -1 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} 的解。

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

要使积 ≤0，x-\left(\sqrt{2}+1\right) 和 x-\left(1-\sqrt{2}\right) 的值必须一个 ≥0，另一个 ≤0。 考虑 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 和 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0 的情况。

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

这不适用于任何 x。

$$x\in \emptyset$$

考虑 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 和 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 的情况。

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

同时满足两个不等式的解是 x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right]。

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

最终解是获得的解的并集。

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$