求解 x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7.5+6.614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7.5-6.614378278i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-15x+100=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-15 替换 b，并用 100 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

对 -15 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

求 -4 与 100 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

将 -400 加上 225。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

取 -175 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

-15 的相反数是 15。

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} 的解。 将 5i\sqrt{7} 加上 15。

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} 的解。 将 15 减去 5i\sqrt{7}。

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-15x+100=0$$

将等式的两边同时减去 100。

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

100 减去它自己得 0。

$$x^{2}-15x=-100$$

将 x 项的系数 -15 除以 2 得 -\frac{15}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{15}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{15}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

将 \frac{225}{4} 加上 -100。

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

对 x^{2}-15x+\frac{225}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{15}{2}。

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$