求解 x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

求解 x 的值

$$x=6$$

$$x=7$$

因式分解的步骤

若要求解公式，请使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 因式分解 x^{2}-13x+42。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-13 ab=42$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 42 的所有此类整数对。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

计算每对之和。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

该解答是总和为 -13 的对。

$$a=-7 b=-6$$

使用获取的值 \left(x+a\right)\left(x+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-7=0 和 x-6=0。

$$x=7 x=6$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx+42。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

由于 ab 是正数, a 并且 b 具有相同的符号。 因为 a+b 是负值, 所以 a 和 b 均为负。 列出提供产品 42 的所有此类整数对。

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

计算每对之和。

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

该解答是总和为 -13 的对。

$$a=-7 b=-6$$

将 x^{2}-13x+42 改写为 \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)。

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 -6 中。

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-7。

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-7=0 和 x-6=0。

$$x=7 x=6$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-13x+42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-13 替换 b，并用 42 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

对 -13 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

求 -4 与 42 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

将 -168 加上 169。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

取 1 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

-13 的相反数是 13。

$$x=\frac{13±1}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{13±1}{2} 的解。 将 1 加上 13。

$$x=\frac{14}{2}$$

14 除以 2。

$$x=7$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{13±1}{2} 的解。 将 13 减去 1。

$$x=\frac{12}{2}$$

12 除以 2。

$$x=6$$

现已求得方程式的解。

$$x=7 x=6$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-13x+42=0$$

将等式的两边同时减去 42。

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

42 减去它自己得 0。

$$x^{2}-13x=-42$$

将 x 项的系数 -13 除以 2 得 -\frac{13}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{13}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{13}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

将 \frac{169}{4} 加上 -42。

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

对 x^{2}-13x+\frac{169}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{13}{2}。

$$x=7 x=6$$