求解 x^2-125x-375=0

$$x ^ { 2 } - 125 x - 375 = 0$$

求解 x 的值

$$x = \frac{5 \sqrt{685} + 125}{2} \approx 127.931261642$$

$$x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}\approx -2.931261642$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-125x-375=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-125 替换 b，并用 -375 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{\left(-125\right)^{2}-4\left(-375\right)}}{2}$$

对 -125 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{15625-4\left(-375\right)}}{2}$$

求 -4 与 -375 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{15625+1500}}{2}$$

将 1500 加上 15625。

$$x=\frac{-\left(-125\right)±\sqrt{17125}}{2}$$

取 17125 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-125\right)±5\sqrt{685}}{2}$$

-125 的相反数是 125。

$$x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2} 的解。 将 5\sqrt{685} 加上 125。

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{125±5\sqrt{685}}{2} 的解。 将 125 减去 5\sqrt{685}。

$$x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2} x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-125x-375=0$$

在等式两边同时加 375。

$$x^{2}-125x-375-\left(-375\right)=-\left(-375\right)$$

-375 减去它自己得 0。

$$x^{2}-125x=-\left(-375\right)$$

将 0 减去 -375。

$$x^{2}-125x=375$$

将 x 项的系数 -125 除以 2 得 -\frac{125}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{125}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-125x+\left(-\frac{125}{2}\right)^{2}=375+\left(-\frac{125}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{125}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-125x+\frac{15625}{4}=375+\frac{15625}{4}$$

将 \frac{15625}{4} 加上 375。

$$x^{2}-125x+\frac{15625}{4}=\frac{17125}{4}$$

因数 x^{2}-125x+\frac{15625}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{125}{2}\right)^{2}=\frac{17125}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{125}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17125}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{125}{2}=\frac{5\sqrt{685}}{2} x-\frac{125}{2}=-\frac{5\sqrt{685}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{125}{2}。

$$x=\frac{5\sqrt{685}+125}{2} x=\frac{125-5\sqrt{685}}{2}$$