求解 x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8.062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8.062257748i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}-10x+90=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-10 替换 b，并用 90 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

对 -10 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

求 -4 与 90 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

将 -360 加上 100。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

取 -260 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

-10 的相反数是 10。

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} 的解。 将 2i\sqrt{65} 加上 10。

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

10+2i\sqrt{65} 除以 2。

$$x=5+\sqrt{65}i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} 的解。 将 10 减去 2i\sqrt{65}。

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

10-2i\sqrt{65} 除以 2。

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

现已求得方程式的解。

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}-10x+90=0$$

将等式的两边同时减去 90。

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

90 减去它自己得 0。

$$x^{2}-10x=-90$$

将 x 项的系数 -10 除以 2 得 -5。然后在等式两边同时加上 -5 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

对 -5 进行平方运算。

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

将 25 加上 -90。

$$x^{2}-10x+25=-65$$

因数 x^{2}-10x+25。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

化简。

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

在等式两边同时加 5。

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$