求解 x^2=(2+sqrt{5})^2+(2-sqrt{5})^2

$$x ^ { 2 } = ( 2 + \sqrt { 5 } ) ^ { 2 } + ( 2 - \sqrt { 5 } ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值

$$x=3\sqrt{2}\approx 4.242640687$$

$$x=-3\sqrt{2}\approx -4.242640687$$

通过找平方根实现的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$x^{2}=4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$x^{2}=4+4\sqrt{5}+5+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+4-4\sqrt{5}+5$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}$$

9 与 9 相加，得到 18。

$$x^{2}=18+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}$$

合并 4\sqrt{5} 和 -4\sqrt{5}，得到 0。

$$x^{2}=18$$

对方程两边同时取平方根。

$$x=3\sqrt{2} x=-3\sqrt{2}$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}。

$$x^{2}=4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$x^{2}=4+4\sqrt{5}+5+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+\left(2-\sqrt{5}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(2-\sqrt{5}\right)^{2}。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+4-4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}$$

\sqrt{5} 的平方是 5。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+4-4\sqrt{5}+5$$

4 与 5 相加，得到 9。

$$x^{2}=9+4\sqrt{5}+9-4\sqrt{5}$$

9 与 9 相加，得到 18。

$$x^{2}=18+4\sqrt{5}-4\sqrt{5}$$

合并 4\sqrt{5} 和 -4\sqrt{5}，得到 0。

$$x^{2}=18$$

将方程式两边同时减去 18。

$$x^{2}-18=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，0 替换 b，并用 -18 替换 c。

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\left(-18\right)}}{2}$$

对 0 进行平方运算。

$$x=\frac{0±\sqrt{-4\left(-18\right)}}{2}$$

求 -4 与 -18 的乘积。

$$x=\frac{0±\sqrt{72}}{2}$$

取 72 的平方根。

$$x=\frac{0±6\sqrt{2}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{0±6\sqrt{2}}{2} 的解。

$$x=3\sqrt{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{0±6\sqrt{2}}{2} 的解。

$$x=-3\sqrt{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=3\sqrt{2} x=-3\sqrt{2}$$