求解 x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-7$$

$$x=6$$

因式分解的步骤

若要解公式，请使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) x^{2}+x-42 因子。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=1 ab=-42$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -42 的所有此类整数对。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

计算每对之和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

该解答是总和为 1 的对。

$$a=-6 b=7$$

使用获取的值 \left(x+a\right)\left(x+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx-42。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -42 的所有此类整数对。

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

计算每对之和。

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

该解答是总和为 1 的对。

$$a=-6 b=7$$

将 x^{2}+x-42 改写为 \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)。

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 7 中。

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-6。

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

若要找到方程解，请解 x-6=0 和 x+7=0.

$$x=6 x=-7$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+x-42=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 -42 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

求 -4 与 -42 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

将 168 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

取 169 的平方根。

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±13}{2} 的解。 将 13 加上 -1。

$$x=\frac{12}{2}$$

12 除以 2。

$$x=6$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±13}{2} 的解。 将 -1 减去 13。

$$x=-\frac{14}{2}$$

-14 除以 2。

$$x=-7$$

现已求得方程式的解。

$$x=6 x=-7$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+x-42=0$$

在等式两边同时加 42。

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

-42 减去它自己得 0。

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

将 0 减去 -42。

$$x^{2}+x=42$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 42。

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

因数 x^{2}+x+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$x=6 x=-7$$