求解 x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

求解 x 的值

$$x=-40$$

$$x=9$$

因式分解的步骤

若要求解公式，请使用公式 x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right) 因式分解 x^{2}+31x-360。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=31 ab=-360$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -360 的所有此类整数对。

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

计算每对之和。

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

该解答是总和为 31 的对。

$$a=-9 b=40$$

使用获取的值 \left(x+a\right)\left(x+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-9=0 和 x+40=0。

$$x=9 x=-40$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 x^{2}+ax+bx-360。 若要查找 a 和 b, 请设置要解决的系统。

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

由于 ab 是负值, a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为正，因此正数的绝对值比负数大。 列出提供产品 -360 的所有此类整数对。

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

计算每对之和。

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

该解答是总和为 31 的对。

$$a=-9 b=40$$

将 x^{2}+31x-360 改写为 \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)。

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

将 x 放在第二个组中的第一个和 40 中。

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 x-9。

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

若要查找公式解决方案, 请解决 x-9=0 和 x+40=0。

$$x=9 x=-40$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+31x-360=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，31 替换 b，并用 -360 替换 c。

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

对 31 进行平方运算。

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

求 -4 与 -360 的乘积。

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

将 1440 加上 961。

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

取 2401 的平方根。

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-31±49}{2} 的解。 将 49 加上 -31。

$$x=\frac{18}{2}$$

18 除以 2。

$$x=9$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-31±49}{2} 的解。 将 -31 减去 49。

$$x=-\frac{80}{2}$$

-80 除以 2。

$$x=-40$$

现已求得方程式的解。

$$x=9 x=-40$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+31x-360=0$$

在等式两边同时加 360。

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

-360 减去它自己得 0。

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

将 0 减去 -360。

$$x^{2}+31x=360$$

将 x 项的系数 31 除以 2 得 \frac{31}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{31}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{31}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

将 \frac{961}{4} 加上 360。

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

对 x^{2}+31x+\frac{961}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

化简。

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{31}{2}。

$$x=9 x=-40$$