求解 x^2+3x-20/x^2+3x=8

$$x ^ { 2 } + 3 x - \frac { 20 } { x ^ { 2 } + 3 x } = 8$$

求解 x 的值

$$x=-2$$

$$x=-1$$

$$x=2$$

$$x=-5$$

求解步骤

由于无法定义除以零，因此变量 x 不能等于任意以下值: -3,0。 将方程式的两边同时乘以 x\left(x+3\right)。

$$x\left(x+3\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

使用分配律将 x 乘以 x+3。

$$\left(x^{2}+3x\right)x^{2}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

使用分配律将 x^{2}+3x 乘以 x^{2}。

$$x^{4}+3x^{3}+3xx\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

将 x 与 x 相乘，得到 x^{2}。

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{2}\left(x+3\right)-20=8x\left(x+3\right)$$

使用分配律将 3x^{2} 乘以 x+3。

$$x^{4}+3x^{3}+3x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

合并 3x^{3} 和 3x^{3}，得到 6x^{3}。

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x\left(x+3\right)$$

使用分配律将 8x 乘以 x+3。

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20=8x^{2}+24x$$

将方程式两边同时减去 8x^{2}。

$$x^{4}+6x^{3}+9x^{2}-20-8x^{2}=24x$$

合并 9x^{2} 和 -8x^{2}，得到 x^{2}。

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20=24x$$

将方程式两边同时减去 24x。

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-20-24x=0$$

整理方程式，将其化为标准形式。按幂从高到低的顺序排列各项。

$$x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -20，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=-1$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{4}+6x^{3}+x^{2}-24x-20 除以 x+1 得 x^{3}+5x^{2}-4x-20。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{3}+5x^{2}-4x-20=0$$

依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 -20，q 除以首项系数 1。 列出所有候选 \frac{p}{q}。

$$±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

通过尝试所有整数值(按绝对值从最小值开始)，查找一个类似的根。如果找不到整数根，请尝试分数。

$$x=2$$

依据“因式定理”，x-k 是每个根 k 的多项式因数。 x^{3}+5x^{2}-4x-20 除以 x-2 得 x^{2}+7x+10。 求解结果等于 0 的方程式。

$$x^{2}+7x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 7 替换 b、用 10 替换 c。

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

完成计算。

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 x^{2}+7x+10=0 的解。

$$x=-5 x=-2$$

列出所有找到的解决方案。

$$x=-1 x=2 x=-5 x=-2$$