求解 x^2+14x+65=0

$$x ^ { 2 } + 14 x + 65 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=-7+4i$$

$$x=-7-4i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+14x+65=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，14 替换 b，并用 65 替换 c。

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 65}}{2}$$

对 14 进行平方运算。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 65}}{2}$$

求 -4 与 65 的乘积。

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-260}}{2}$$

将 -260 加上 196。

$$x=\frac{-14±\sqrt{-64}}{2}$$

取 -64 的平方根。

$$x=\frac{-14±8i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-14±8i}{2} 的解。 将 8i 加上 -14。

$$x=\frac{-14+8i}{2}$$

-14+8i 除以 2。

$$x=-7+4i$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-14±8i}{2} 的解。 将 -14 减去 8i。

$$x=\frac{-14-8i}{2}$$

-14-8i 除以 2。

$$x=-7-4i$$

现已求得方程式的解。

$$x=-7+4i x=-7-4i$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+14x+65=0$$

将等式的两边同时减去 65。

$$x^{2}+14x+65-65=-65$$

65 减去它自己得 0。

$$x^{2}+14x=-65$$

将 x 项的系数 14 除以 2 得 7。然后在等式两边同时加上 7 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+14x+7^{2}=-65+7^{2}$$

对 7 进行平方运算。

$$x^{2}+14x+49=-65+49$$

将 49 加上 -65。

$$x^{2}+14x+49=-16$$

因数 x^{2}+14x+49。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+7\right)^{2}=-16$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{-16}$$

化简。

$$x+7=4i x+7=-4i$$

将等式的两边同时减去 7。

$$x=-7+4i x=-7-4i$$