求解 x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

求解 x 的值

$$x=-5$$

$$x=5$$

求解步骤

将等式的两边同时减去 x^{2}+11。

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

要查找 x^{2}+11 的相反数，请查找每一项的相反数。

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

将 42 减去 11，得到 31。

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

对方程式的两边同时进行平方运算。

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

计算 2 的 \sqrt{x^{2}+11} 乘方，得到 x^{2}+11。

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(31-x^{2}\right)^{2}。

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

将方程式两边同时减去 961。

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

将 11 减去 961，得到 -950。

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

将 62x^{2} 添加到两侧。

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

合并 x^{2} 和 62x^{2}，得到 63x^{2}。

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

将方程式两边同时减去 x^{4}。

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

将 t 替换为 x^{2}。

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 -1、用 63 替换 b、用 -950 替换 c。

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

完成计算。

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-63±13}{-2} 的解。

$$t=25 t=38$$

由于 x=t^{2}, 解是通过对每个 t 判定 x=±\sqrt{t} 得到的。

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

用 5 替代方程 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中的 x。

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

化简。 值 x=5 满足公式。

$$42=42$$

用 -5 替代方程 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中的 x。

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

化简。 值 x=-5 满足公式。

$$42=42$$

用 \sqrt{38} 替代方程 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中的 x。

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

化简。 x=\sqrt{38} 的值不满足公式。

$$56=42$$

用 -\sqrt{38} 替代方程 x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42 中的 x。

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

化简。 x=-\sqrt{38} 的值不满足公式。

$$56=42$$

列出 \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2} 的所有解。

$$x=5 x=-5$$