求解 x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

求解 x 的值

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

通过分组进行因式分解的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x^{2}-2x\right)^{2}。

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

同底的幂相乘，即将其指数相加。2 加 1 得 3。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 4x^{2}，得到 5x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10 与 1 相加，得到 11。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

对 x^{2}-2x-3 进行平方运算。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

合并 x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

合并 2x 和 12x，得到 14x。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11 与 9 相加，得到 20。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 20。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

合并 5x^{2} 和 x^{2}，得到 6x^{2}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 14x。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 x^{4}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

合并 x^{4} 和 -x^{4}，得到 0。

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

将 4x^{3} 添加到两侧。

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

合并 -4x^{3} 和 4x^{3}，得到 0。

$$6x^{2}-20-14x=0$$

两边同时除以 2。

$$3x^{2}-10-7x=0$$

重新排列多项式，将其变为标准形式。按从最高次幂到最低次幂的顺序放置项。

$$3x^{2}-7x-10=0$$

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 3x^{2}+ax+bx-10。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -30 的所有此类整数对。

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

计算每对之和。

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

该解答是总和为 -7 的对。

$$a=-10 b=3$$

将 3x^{2}-7x-10 改写为 \left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)。

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

从 3x^{2}-10x 分解出因子 x。

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

通过使用分布式属性分解出共同项 3x-10。

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

若要找到方程解，请解 3x-10=0 和 x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

运用二次公式的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x^{2}-2x\right)^{2}。

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

同底的幂相乘，即将其指数相加。2 加 1 得 3。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 4x^{2}，得到 5x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10 与 1 相加，得到 11。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

对 x^{2}-2x-3 进行平方运算。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

合并 x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

合并 2x 和 12x，得到 14x。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11 与 9 相加，得到 20。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 20。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

合并 5x^{2} 和 x^{2}，得到 6x^{2}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 14x。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 x^{4}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

合并 x^{4} 和 -x^{4}，得到 0。

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

将 4x^{3} 添加到两侧。

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

合并 -4x^{3} 和 4x^{3}，得到 0。

$$6x^{2}-20-14x=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$6x^{2}-14x-20=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 6 替换 a，-14 替换 b，并用 -20 替换 c。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

对 -14 进行平方运算。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

求 -4 与 6 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

求 -24 与 -20 的乘积。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

将 480 加上 196。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

取 676 的平方根。

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

-14 的相反数是 14。

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

求 2 与 6 的乘积。

$$x=\frac{14±26}{12}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{14±26}{12} 的解。 将 26 加上 14。

$$x=\frac{40}{12}$$

通过求根和消去 4，将分数 \frac{40}{12} 降低为最简分数。

$$x=\frac{10}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{14±26}{12} 的解。 将 14 减去 26。

$$x=-\frac{12}{12}$$

-12 除以 12。

$$x=-1$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

使用配方法的步骤

使用二项式定理 \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} 展开 \left(x^{2}-2x\right)^{2}。

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

要对幂进行幂运算，即将指数相乘。2 乘 2 得 4。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

同底的幂相乘，即将其指数相加。2 加 1 得 3。

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

合并 x^{2} 和 4x^{2}，得到 5x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

使用二项式定理 \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} 展开 \left(x+1\right)^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

10 与 1 相加，得到 11。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

对 x^{2}-2x-3 进行平方运算。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

合并 x^{2} 和 -2x^{2}，得到 -x^{2}。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

合并 2x 和 12x，得到 14x。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

11 与 9 相加，得到 20。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将 x^{2} 添加到两侧。

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

合并 5x^{2} 和 x^{2}，得到 6x^{2}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 14x。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

将方程式两边同时减去 x^{4}。

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

合并 x^{4} 和 -x^{4}，得到 0。

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

将 4x^{3} 添加到两侧。

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

合并 -4x^{3} 和 4x^{3}，得到 0。

$$6x^{2}-14x=20$$

两边同时除以 6。

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

除以 6 是乘以 6 的逆运算。

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{-14}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

通过求根和消去 2，将分数 \frac{20}{6} 降低为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

将 x 项的系数 -\frac{7}{3} 除以 2 得 -\frac{7}{6}。然后在等式两边同时加上 -\frac{7}{6} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

对 -\frac{7}{6} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

将 \frac{49}{36} 加上 \frac{10}{3}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

因数 x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

化简。

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

在等式两边同时加 \frac{7}{6}。

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$