求解 x^2+sqrt{6}x+5=0

$$x ^ { 2 } + \sqrt { 6 } x + 5 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}\approx -1.224744871+1.870828693i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}\approx -1.224744871-1.870828693i$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，\sqrt{6} 替换 b，并用 5 替换 c。

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

对 \sqrt{6} 进行平方运算。

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-4\times 5}}{2}$$

求 -4 与 5 的乘积。

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{6-20}}{2}$$

将 -20 加上 6。

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{-14}}{2}$$

取 -14 的平方根。

$$x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} 的解。 将 i\sqrt{14} 加上 -\sqrt{6}。

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-\sqrt{6}±\sqrt{14}i}{2} 的解。 将 -\sqrt{6} 减去 i\sqrt{14}。

$$x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5=0$$

将等式的两边同时减去 5。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+5-5=-5$$

5 减去它自己得 0。

$$x^{2}+\sqrt{6}x=-5$$

将 x 项的系数 \sqrt{6} 除以 2 得 \frac{\sqrt{6}}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{\sqrt{6}}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-5+\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{\sqrt{6}}{2} 进行平方运算。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-5+\frac{3}{2}$$

将 \frac{3}{2} 加上 -5。

$$x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

因数 x^{2}+\sqrt{6}x+\frac{3}{2}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{2}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x+\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{2}}$$

化简。

$$x+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{14}i}{2} x+\frac{\sqrt{6}}{2}=-\frac{\sqrt{14}i}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{\sqrt{6}}{2}。

$$x=\frac{-\sqrt{6}+\sqrt{14}i}{2} x=\frac{-\sqrt{14}i-\sqrt{6}}{2}$$