求解 x^19-x^57

$$x ^ { 19 } - x ^ { 57 }$$

因式分解

$$\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(-x^{18}+x^{17}-x^{16}+x^{15}-x^{14}+x^{13}-x^{12}+x^{11}-x^{10}+x^{9}-x^{8}+x^{7}-x^{6}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x-1\right)\left(x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\right)x^{19}$$

求解步骤

因式分解出 x^{19}。

$$x^{19}\left(1-x^{38}\right)$$

请考虑 1-x^{38}。 将 1-x^{38} 改写为 1^{2}-\left(-x^{19}\right)^{2}。 可使用以下规则对平方差进行因式分解: a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)\left(a+b\right)。

$$\left(1+x^{19}\right)\left(1-x^{19}\right)$$

重新排列各项的顺序。

$$\left(x^{19}+1\right)\left(-x^{19}+1\right)$$

请考虑 x^{19}+1。 依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1，q 除以首项系数 1。 其中一个根为 -1。通过将多项式除以 x+1 来因式分解多项式。

$$\left(x+1\right)\left(x^{18}-x^{17}+x^{16}-x^{15}+x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)$$

请考虑 -x^{19}+1。 依据“有理根定理”，多项式的所有有理根都是 \frac{p}{q} 的形式，其中，p 除以常数项 1，q 除以首项系数 -1。 其中一个根为 1。通过将多项式除以 x-1 来因式分解多项式。

$$\left(x-1\right)\left(-x^{18}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\right)$$

重写完整的因式分解表达式。 不会对以下多项式进行因式分解，因为它们没有任何有理根: -x^{18}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1,x^{18}-x^{17}+x^{16}-x^{15}+x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1。

$$x^{19}\left(x+1\right)\left(x^{18}-x^{17}+x^{16}-x^{15}+x^{14}-x^{13}+x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\right)\left(x-1\right)\left(-x^{18}-x^{17}-x^{16}-x^{15}-x^{14}-x^{13}-x^{12}-x^{11}-x^{10}-x^{9}-x^{8}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1\right)$$

求值

$$x^{19}-x^{57}$$