求解 x^10+4x^5+3=0

$$x ^ { 10 } + 4 x ^ { 5 } + 3 = 0$$

求解 x 的值 (复数求解)

$$x\in e^{\frac{\pi i}{5}},e^{\frac{9\pi i}{5}},e^{\frac{3\pi i}{5}},-1,e^{\frac{7\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{9\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{\pi i}{5}},\sqrt[5]{3}e^{\frac{3\pi i}{5}},-\sqrt[5]{3},\sqrt[5]{3}e^{\frac{7\pi i}{5}}$$

运用二次公式的步骤

将 t 替换为 x^{5}。

$$t^{2}+4t+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 4 替换 b、用 3 替换 c。

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

完成计算。

$$t=\frac{-4±2}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-4±2}{2} 的解。

$$t=-1 t=-3$$

由于 x=t^{5}，可通过为每个 t 求解方程来获得解决方案。

$$x=-ie^{\frac{3\pi i}{10}} x=-e^{\frac{2\pi i}{5}} x=-1 x=ie^{\frac{\pi i}{10}} x=e^{\frac{\pi i}{5}} x=-\sqrt[5]{3}ie^{\frac{3\pi i}{10}} x=-\sqrt[5]{3}e^{\frac{2\pi i}{5}} x=-\sqrt[5]{3} x=\sqrt[5]{3}ie^{\frac{\pi i}{10}} x=\sqrt[5]{3}e^{\frac{\pi i}{5}}$$

求解 x 的值

$$x=-\sqrt[5]{3}\approx -1.24573094$$

$$x=-1$$

运用二次公式的步骤

将 t 替换为 x^{5}。

$$t^{2}+4t+3=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 4 替换 b、用 3 替换 c。

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\times 3}}{2}$$

完成计算。

$$t=\frac{-4±2}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 t=\frac{-4±2}{2} 的解。

$$t=-1 t=-3$$

由于 x=t^{5}, 解是通过对每个 t 判定 x=\sqrt[5]{t} 得到的。

$$x=-1 x=-\sqrt[5]{3}$$