求解 x=x^2-1

$$x = x ^ { 2 } - 1$$

求解 x 的值

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

运用二次公式的步骤

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$x-x^{2}=-1$$

将 1 添加到两侧。

$$x-x^{2}+1=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$-x^{2}+x+1=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 -1 替换 a，1 替换 b，并用 1 替换 c。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

对 1 进行平方运算。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

求 -4 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

将 4 加上 1。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

求 2 与 -1 的乘积。

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} 的解。 将 \sqrt{5} 加上 -1。

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1+\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{5}。

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-1-\sqrt{5} 除以 -2。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

使用配方法的步骤

将方程式两边同时减去 x^{2}。

$$x-x^{2}=-1$$

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$-x^{2}+x=-1$$

两边同时除以 -1。

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

除以 -1 是乘以 -1 的逆运算。

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

1 除以 -1。

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1 除以 -1。

$$x^{2}-x=1$$

将 x 项的系数 -1 除以 2 得 -\frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 1。

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

对 x^{2}-x+\frac{1}{4} 进行因式分解。一般而言，当 x^{2}+bx+c 为完全平方数时，总是可以因式分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} 这一形式。

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

化简。

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{1}{2}。

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$