求解 r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

求解 r 的值

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22.313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0.313708499$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$r^{2}-22r-7=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-22 替换 b，并用 -7 替换 c。

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

对 -22 进行平方运算。

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

求 -4 与 -7 的乘积。

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

将 28 加上 484。

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

取 512 的平方根。

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

-22 的相反数是 22。

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} 的解。 将 16\sqrt{2} 加上 22。

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

22+16\sqrt{2} 除以 2。

$$r=8\sqrt{2}+11$$

现在 ± 为减号时求公式 r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} 的解。 将 22 减去 16\sqrt{2}。

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

22-16\sqrt{2} 除以 2。

$$r=11-8\sqrt{2}$$

现已求得方程式的解。

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$r^{2}-22r-7=0$$

在等式两边同时加 7。

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7 减去它自己得 0。

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

将 0 减去 -7。

$$r^{2}-22r=7$$

将 x 项的系数 -22 除以 2 得 -11。然后在等式两边同时加上 -11 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

对 -11 进行平方运算。

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

将 121 加上 7。

$$r^{2}-22r+121=128$$

因数 r^{2}-22r+121。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

化简。

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

在等式两边同时加 11。

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$