求解 n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

求解 n 的值

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

运用二次公式的步骤

计算 2 的 2009 乘方，得到 4036081。

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

要对不等式求解，请对左边进行因式分解。 可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

ax^{2}+bx+c=0 形式的所有方程式都可以使用二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 来求解。在二次公式中，用 a 替换 1、用 -4019 替换 b、用 4036081 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

完成计算。

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

求 ± 为加号和 ± 为减号时方程式 n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} 的解。

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

使用获取的解改写不等式。

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

要使积 ≤0，n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} 和 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} 的值必须一个 ≥0，另一个 ≤0。 考虑 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 和 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0 的情况。

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

这不适用于任何 n。

$$n\in \emptyset$$

考虑 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 和 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 的情况。

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

同时满足两个不等式的解是 n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right]。

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

最终解是获得的解的并集。

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$