求解 n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

求解 n 的值

$$n=-4$$

$$n=15$$

因式分解的步骤

若要解公式，请使用公式 n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) n^{2}-11n-60 因子。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-11 ab=-60$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -60 的所有此类整数对。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

计算每对之和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

该解答是总和为 -11 的对。

$$a=-15 b=4$$

使用获取的值 \left(n+a\right)\left(n+b\right) 重写因式分解表达式。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

若要找到方程解，请解 n-15=0 和 n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

通过分组进行因式分解的步骤

要求解公式，请通过分组对左侧进行因式分解。首先，左侧需要重写成 n^{2}+an+bn-60。 若要查找 a 和 b，请设置要解决的系统。

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

由于 ab 是负值，a 并且 b 具有相反的正负号。 a+b 为负，因此负数的绝对值比正数大。 列出提供产品 -60 的所有此类整数对。

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

计算每对之和。

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

该解答是总和为 -11 的对。

$$a=-15 b=4$$

将 n^{2}-11n-60 改写为 \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)。

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

将 n 放在第二个组中的第一个和 4 中。

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

通过使用分布式属性分解出共同项 n-15。

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

若要找到方程解，请解 n-15=0 和 n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$n^{2}-11n-60=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，-11 替换 b，并用 -60 替换 c。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

对 -11 进行平方运算。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

求 -4 与 -60 的乘积。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

将 240 加上 121。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

取 361 的平方根。

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11 的相反数是 11。

$$n=\frac{11±19}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{11±19}{2} 的解。 将 19 加上 11。

$$n=\frac{30}{2}$$

30 除以 2。

$$n=15$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{11±19}{2} 的解。 将 11 减去 19。

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8 除以 2。

$$n=-4$$

现已求得方程式的解。

$$n=15 n=-4$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$n^{2}-11n-60=0$$

在等式两边同时加 60。

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60 减去它自己得 0。

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

将 0 减去 -60。

$$n^{2}-11n=60$$

将 x 项的系数 -11 除以 2 得 -\frac{11}{2}。然后在等式两边同时加上 -\frac{11}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

对 -\frac{11}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

将 \frac{121}{4} 加上 60。

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

因数 n^{2}-11n+\frac{121}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

化简。

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

在等式两边同时加 \frac{11}{2}。

$$n=15 n=-4$$