求解 n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

求解 n 的值

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9.611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10.611874208$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$n^{2}+n-102=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 1 替换 a，1 替换 b，并用 -102 替换 c。

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

对 1 进行平方运算。

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

求 -4 与 -102 的乘积。

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

将 408 加上 1。

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

现在 ± 为加号时求公式 n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} 的解。 将 \sqrt{409} 加上 -1。

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

现在 ± 为减号时求公式 n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} 的解。 将 -1 减去 \sqrt{409}。

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

现已求得方程式的解。

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$n^{2}+n-102=0$$

在等式两边同时加 102。

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

-102 减去它自己得 0。

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

将 0 减去 -102。

$$n^{2}+n=102$$

将 x 项的系数 1 除以 2 得 \frac{1}{2}。然后在等式两边同时加上 \frac{1}{2} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

对 \frac{1}{2} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

将 \frac{1}{4} 加上 102。

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

因数 n^{2}+n+\frac{1}{4}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

化简。

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

将等式的两边同时减去 \frac{1}{2}。

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$