求解 f(x)=2x^2+5x+1

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } + 5 x + 1$$

因式分解

$$2\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

运用二次公式的步骤

可使用变换式 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对二次多项式进行因式分解，其中 x_{1} 和 x_{2} 是二次方程式 ax^{2}+bx+c=0 的解。

$$2x^{2}+5x+1=0$$

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2}}{2\times 2}$$

对 5 进行平方运算。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 2}}{2\times 2}$$

求 -4 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-8}}{2\times 2}$$

将 -8 加上 25。

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{2\times 2}$$

求 2 与 2 的乘积。

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

现在 ± 为加号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} 的解。 将 \sqrt{17} 加上 -5。

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4}$$

现在 ± 为减号时求公式 x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} 的解。 将 -5 减去 \sqrt{17}。

$$x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

使用 ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) 对原始表达式进行因式分解。将 x_{1} 替换为 \frac{-5+\sqrt{17}}{4}，将 x_{2} 替换为 \frac{-5-\sqrt{17}}{4}。

$$2x^{2}+5x+1=2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

求值

$$2x^{2}+5x+1$$