求解 f(x)=siny

$$f ( x ) = \sin y$$

关于 y 的微分

$$\cos(y)$$

运用导数定义的步骤

对于函数 f\left(x\right)，导数是指当 h 无限趋于 0 时 \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} 的极限，如果该极限存在的话。

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}(\sin(y))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}\right)$$

使用和的正弦公式。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y+h)-\sin(y)}{h}$$

因式分解出 \sin(y)。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(y)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(y)\sin(h)}{h}$$

改写该极限。

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(y)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

当计算 h 趋近于 0 时的极限时，使用 y 是一个常数这一事实。

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

极限 \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} 为 1。

$$\sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y)$$

要求值极限 \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}，首先将分子和分母同时乘以 \cos(h)+1。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

求 \cos(h)+1 与 \cos(h)-1 的乘积。

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

使用勾股定理。

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

改写该极限。

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

极限 \lim_{y\to 0}\frac{\sin(y)}{y} 为 1。

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

运用 \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} 在 0 处是连续的这一事实。

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

将值 0 替换到表达式 \sin(y)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(y) 中。

$$\cos(y)$$

求值

$$\sin(y)$$