求解 f(x)=3x/1+x^3

$$f ( x ) = \frac { 3 x } { 1 + x ^ { 3 } }$$

关于 x 的微分

$$\frac{3\left(1-2x^{3}\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

运用商的导数法则的步骤

对于任意两个可微函数，这两个函数的商的导数即分母乘以分子的导数减去分子乘以分母的导数的差，再除以分母的平方，所得的值。

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{1})-3x^{1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3}+1)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

多项式的导数是其各项的导数之和。常数项的导数是 0。ax^{n} 的导数是 nax^{n-1}。

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\times 3x^{1-1}-3x^{1}\times 3x^{3-1}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

执行算术运算。

$$\frac{\left(x^{3}+1\right)\times 3x^{0}-3x^{1}\times 3x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

使用分配律展开。

$$\frac{x^{3}\times 3x^{0}+3x^{0}-3x^{1}\times 3x^{2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

同底的幂相乘，则要将其指数相加。

$$\frac{3x^{3}+3x^{0}-3\times 3x^{1+2}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

执行算术运算。

$$\frac{3x^{3}+3x^{0}-9x^{3}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

合并同类项。

$$\frac{\left(3-9\right)x^{3}+3x^{0}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

将 3 减去 9。

$$\frac{-6x^{3}+3x^{0}}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

因式分解出 3。

$$\frac{3\left(-2x^{3}+x^{0}\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

对于任何项 t (0 除外)，均为 t^{0}=1。

$$\frac{3\left(-2x^{3}+1\right)}{\left(x^{3}+1\right)^{2}}$$

求值

$$\frac{3x}{x^{3}+1}$$