求解 bx+cy=a+b,ax[1/a-b-1/a+b]+cy[1/b-a-1/b+a]=frac{2a}{a+b}

$$b x + c y = a + b , a x [ \frac { 1 } { a - b } - \frac { 1 } { a + b } ] + c y [ \frac { 1 } { b - a } - \frac { 1 } { b + a } ] = \frac { 2 a } { a + b }$$

求解 x, y 的值 (复数求解)

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{b}\text{, }y=\frac{b}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }b\neq 0\text{ and }b\neq a\text{ and }b\neq -a\\x=\frac{b-cy}{b}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$bx+cy=a+b$$

将等式的两边同时减去 cy。

$$bx=\left(-c\right)y+a+b$$

两边同时除以 b。

$$x=\frac{1}{b}\left(\left(-c\right)y+a+b\right)$$

求 \frac{1}{b} 与 -cy+a+b 的乘积。

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}$$

用 \frac{-cy+a+b}{b} 替换另一个方程式中 \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} 中的 x。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}\right)+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

求 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right) 与 \frac{-cy+a+b}{b} 的乘积。

$$\left(-\frac{2ac}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)y+\frac{2a}{a-b}+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

将 \frac{2cay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} 加上 -\frac{2acy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y+\frac{2a}{a-b}=\frac{2a}{a+b}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2a}{a-b}。

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=-\frac{4ab}{a^{2}-b^{2}}$$

两边同时除以 \frac{4ca}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}。

$$y=\frac{b}{c}$$

用 \frac{b}{c} 替换 x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)\times \frac{b}{c}+\frac{a+b}{b}$$

求 -\frac{c}{b} 与 \frac{b}{c} 的乘积。

$$x=-1+\frac{a+b}{b}$$

将 -1 加上 \frac{a+b}{b}。

$$x=\frac{a}{b}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}b&c\\-\frac{2ab}{\left(-a+b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ca}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，其逆矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩阵方程可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)\left(b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)}&-\frac{c}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\\-\frac{\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}&\frac{b}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}&\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\\\frac{1}{2c}&\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}\left(a+b\right)+\left(\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\right)\times \frac{2a}{a+b}\\\frac{1}{2c}\left(a+b\right)+\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\times \frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{b}\\\frac{b}{c}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

运用消元法的步骤

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

要让 bx 和 \frac{2abx}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)，再将第二个等式两边的所有项乘以 b。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)abx+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)acy=\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(a+b\right),b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=b\times \frac{2a}{a+b}$$

化简。

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}$$

用 \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b} 减去 \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\left(-\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 加上 \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。 项 \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 和 -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2bcay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} 加上 \frac{2abcy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2ba}{a+b} 加上 \frac{2ab}{a-b}。

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{4ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$$

两边同时除以 \frac{4bca}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$y=\frac{b}{c}$$

用 \frac{b}{c} 替换 \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)c\times \frac{b}{c}=\frac{2a}{a+b}$$

求 c\left(\left(b-a\right)^{-1}-\left(b+a\right)^{-1}\right) 与 \frac{b}{c} 的乘积。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}=\frac{2a}{a+b}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax=-\frac{2a^{2}}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}$$

两边同时除以 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)。

$$x=\frac{a}{b}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

求解 x, y 的值

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{a}{b}\text{, }y=\frac{b}{c}\text{, }&c\neq 0\text{ and }b\neq 0\text{ and }|b|\neq |a|\\x=\frac{b-cy}{b}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=0\text{ and }b\neq 0\end{matrix}\right.$$

运用代入法的步骤

要使用代入法解一对方程式，则先要对其中一个方程式求解一个变量。然后用所得解替换另一个方程式的同一个变量。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

选择其中一个方程式并对 x 进行求解，方法是进行移项，使等号左边仅留 x。

$$bx+cy=a+b$$

将等式的两边同时减去 cy。

$$bx=\left(-c\right)y+a+b$$

两边同时除以 b。

$$x=\frac{1}{b}\left(\left(-c\right)y+a+b\right)$$

求 \frac{1}{b} 与 -cy+a+b 的乘积。

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}$$

用 \frac{-cy+a+b}{b} 替换另一个方程式中 \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} 中的 x。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b}\right)+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

求 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right) 与 \frac{-cy+a+b}{b} 的乘积。

$$\left(-\frac{2ac}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)y+\frac{2a}{a-b}+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

将 \frac{2cay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} 加上 -\frac{2acy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y+\frac{2a}{a-b}=\frac{2a}{a+b}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2a}{a-b}。

$$\frac{4ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=-\frac{4ab}{a^{2}-b^{2}}$$

两边同时除以 \frac{4ca}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}。

$$y=\frac{b}{c}$$

用 \frac{b}{c} 替换 x=\left(-\frac{c}{b}\right)y+\frac{a+b}{b} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$x=\left(-\frac{c}{b}\right)\times \frac{b}{c}+\frac{a+b}{b}$$

求 -\frac{c}{b} 与 \frac{b}{c} 的乘积。

$$x=-1+\frac{a+b}{b}$$

将 -1\text{, }|b|\neq |a| 加上 \frac{a+b}{b}。

$$x=\frac{a}{b}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

运用矩阵的步骤

将等式化为标准形式，然后使用矩阵求解方程组。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

将方程式表示为矩阵形式。

$$\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

用 \left(\begin{matrix}b&c\\-\frac{2ab}{\left(-a+b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ca}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}\end{matrix}\right) 的逆矩阵左乘公式。

$$inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

矩阵及其逆的乘积为单位矩阵。

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

将等号左边的矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}b&c\\\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}&\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

对于 2\times 2 矩阵 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)，其逆矩阵为 \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)，所以矩阵方程可以重写为矩阵乘法问题。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)\left(b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)}&-\frac{c}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\\-\frac{\frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}&\frac{b}{b\times \frac{2ac}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}-c\times \frac{2ab}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}&\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\\\frac{1}{2c}&\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a+b\\\frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

矩阵相乘。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2b}\left(a+b\right)+\left(\frac{a}{4b}-\frac{b}{4a}\right)\times \frac{2a}{a+b}\\\frac{1}{2c}\left(a+b\right)+\frac{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}{4ac}\times \frac{2a}{a+b}\end{matrix}\right)$$

执行算术运算。

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{b}\\\frac{b}{c}\end{matrix}\right)$$

提取矩阵元素 x 和 y。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$

运用消元法的步骤

为了通过消除项来求解，必须使两个方程式中某个变量的系数相同以便使用一个等式减去另一个等式时，该变量可被消去。

$$bx+cy=a+b,\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b}$$

要让 bx 和 \frac{2abx}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 相等，将第一个等式的两边所有项乘以 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)，再将第二个等式两边的所有项乘以 b。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)abx+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)acy=\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)a\left(a+b\right),b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+b\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=b\times \frac{2a}{a+b}$$

化简。

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b},\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}$$

用 \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b} 减去 \frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a+b}，运算方法是在两个等式的等号两边分别进行同类项减法运算。

$$\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}x+\left(-\frac{2ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\right)x+\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 加上 \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。 项 \frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 和 -\frac{2ab^{2}x}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)} 消去，剩下一个仅含一个变量的可求解的方程式。

$$\frac{2abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y+\left(-\frac{2abc}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}\right)y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2bcay}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)} 加上 \frac{2abcy}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{2ab}{a-b}-\frac{2ab}{a+b}$$

将 -\frac{2ba}{a+b} 加上 \frac{2ab}{a-b}。

$$\frac{4abc}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}y=\frac{4ab^{2}}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}$$

两边同时除以 \frac{4bca}{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}。

$$y=\frac{b}{c}$$

用 \frac{b}{c} 替换 \left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)cy=\frac{2a}{a+b} 中的 y。由于所得方程式中仅包含一个变量，因此可以直接求得 x 的解。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}\right)c\times \frac{b}{c}=\frac{2a}{a+b}$$

求 c\left(\left(b-a\right)^{-1}-\left(b+a\right)^{-1}\right) 与 \frac{b}{c} 的乘积。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax+\frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}=\frac{2a}{a+b}$$

将等式的两边同时减去 \frac{2ab}{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}。

$$\left(-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}\right)ax=-\frac{2a^{2}}{\left(b-a\right)\left(a+b\right)}$$

两边同时除以 a\left(\left(a-b\right)^{-1}-\left(a+b\right)^{-1}\right)。

$$x=\frac{a}{b}$$

系统现在已得到解决。

$$x=\frac{a}{b},y=\frac{b}{c}$$