求解 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

求解 y 的值

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

运用二次公式的步骤

形式为 ax^{2}+bx+c=0 的所有方程式均可求解，方法是使用二次公式来求解: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}。此二次公式可得到两个解，一个是当 ± 取加号时的解，另一个是取减号时的解。

$$9y^{2}-12y+2=0$$

此公式采用标准形式: ax^{2}+bx+c=0。在二次公式 \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} 中用 9 替换 a，-12 替换 b，并用 2 替换 c。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

对 -12 进行平方运算。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

求 -4 与 9 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

求 -36 与 2 的乘积。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

将 -72 加上 144。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

取 72 的平方根。

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

-12 的相反数是 12。

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

求 2 与 9 的乘积。

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

现在 ± 为加号时求公式 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} 的解。 将 6\sqrt{2} 加上 12。

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

12+6\sqrt{2} 除以 18。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

现在 ± 为减号时求公式 y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} 的解。 将 12 减去 6\sqrt{2}。

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

12-6\sqrt{2} 除以 18。

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

现已求得方程式的解。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

使用配方法的步骤

这样的二次方程式可通过转换为完全平方形式来求解。要化为完全平方形式，等式必须先转换为 x^{2}+bx=c 的形式。

$$9y^{2}-12y+2=0$$

将等式的两边同时减去 2。

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

2 减去它自己得 0。

$$9y^{2}-12y=-2$$

两边同时除以 9。

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

除以 9 是乘以 9 的逆运算。

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

通过求根和消去 3，将分数 \frac{-12}{9} 降低为最简分数。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

将 x 项的系数 -\frac{4}{3} 除以 2 得 -\frac{2}{3}。然后在等式两边同时加上 -\frac{2}{3} 的平方。这一运算步骤让等式的左边成为完全平方形式。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

对 -\frac{2}{3} 进行平方运算，方法是同时对该分数的分子和分母进行平方运算。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

将 \frac{4}{9} 加上 -\frac{2}{9}，计算方法是寻找公分母，加上各自的分子。然后将所得分数进行约分化为最简分数。

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

因数 y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}。一般说来，当 x^{2}+bx+c 是一个平方数时，它始终可以分解为 \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}。

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

对方程两边同时取平方根。

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

化简。

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

在等式两边同时加 \frac{2}{3}。

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$